Question

已知f（x）=-

4+ 1 x2

，数列{a_n}的前n项和为S_n，点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上（n∈N^*）且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）试找整数M，使M＜S₃₁＜M+1．

Answer 1

考点：数列的应用,数列的求和

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）证明数列{

1

an2

}是等差数列，首项为1，公差d=4，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用放缩法，即可找整数M，使M＜S₃₁＜M+1．

解答： 解：（1）∵点P_n（a_n，-

1

an+1

）在曲线y=f（x）上，
∴-

1

an+1

=-

4+ 1 an2

且a_n＞0
∴

1

an+12

-

1

an2

=4
∴数列{

1

an2

}是等差数列，首项为1，公差d=4，
∴

1

an2

=4n-3，
∴a_n²=

1

4n-3

∵a_n＞0
∴a_n=

1

4n-3

…（6分）
（2）n≥2时，a_n=

2

2 4n-3

＞

2

4n-3 + 4n+1

=

4n+1 - 4n-3

2

，
a_n=

2

2 4n-3

＜

2

4n-3 + 4n-7

=

4n-3 - 4n-7

2

∴S₃₁＞1+

9 - 5

2

+

13 - 9

2

+…+

125 - 121

2

=1+

125 - 5

2

＞5
S₃₁＜1+

5 -1

2

+…+

121 - 117

2

=6
因此整数M=5．

点评：本题考查数列通项公式的求法和不等式的证明，解题时要认真审题，注意数列性质的合理运用．