Question

19．已知a＞0，b＞0，a+b=2．
（1）求$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$的最小值；
（2）求证：$\frac{ab（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}{a+b}$≤1．

Answer 1

分析 （1）分式类型，巧运用a+b的式子即可；
（2）利用基本不等式转化为$\frac{ab（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}{a+b}$=ab•$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$$≤\sqrt{\frac{a+b}{2}}$•（$\frac{a+b}{2}$）²求解即可．

解答 解：（1）a+b=2．
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{4}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{a+b}{a}$+$\frac{4（a+b）}{b}$）=$\frac{1}{2}×$（5+$\frac{b}{a}$$+\frac{4a}{b}$）≥$\frac{9}{2}$仅当（b=2a等号成立）；
（2）证明：$\frac{ab（\sqrt{a}+\sqrt{b}）}{a+b}$=ab•$\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}$$≤\sqrt{\frac{a+b}{2}}$•（$\frac{a+b}{2}$）²=1．（当且仅当a=b等号成立）．

点评 本题考查了基本不等式的运用，恒等变形的能力，属于容易题，关键看准条件．