Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，设点是椭圆： 上一点，从原点向圆： 作两条切线分别与椭圆交于点， ，直线， 的斜率分别记为， .　

（1）求证： 为定值；

（2）求四边形面积的最大值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)1.

【解析】试题分析：（1）因为直线： ， ： ，与圆相切，推出， 是方程的两个不相等的实数根，利用韦达定理得，结合点点在椭圆上，得出；（2）当直线， 不落在坐标轴上时，设， ，通过，推出，结合， 在椭圆上，可得，再讨论直线落在坐标轴上时，显然有，然后表示出，结合基本不等式即可求出四边形面积的最大值.

试题解析：（1）因为直线： ， ： ，与圆相切，

由，可得， 是方程的两个不相等的实数根

∴，因为点在椭圆上，所以，

∴.

（2）（i）当直线， 不落在坐标轴上时，设， ，

因为，所以，即，

因为， 在椭圆上，

所以，

整理得，所以，

所以.

（ii）当直线落在坐标轴上时，显然有，

综上： .　

因为，

因为，

所以的最大值为1.