Question

【题目】已知为坐标原点，抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，曲线在点处的切线交轴于点，直线经过点且垂直于轴.

（Ⅰ）求线段的长；

（Ⅱ）设不经过点和的动直线交曲线于点和，交于点，若直线的斜率依次成等差数列，试问：是否过定点？请说明理由．

Answer 1

【答案】（I）；（II）定点.

【解析】试题分析：（I）根据抛物线的定义，有，，所以抛物线方程为，.利用导数求得切线方程为，所以点的坐标为，线段的长为；（II）由题意可知的方程为，求得与交点坐标为，设，，联立的方程和抛物线的方程，消去写出根与系数关系.分别求出直线的斜率，由等差中项的性质列方程，化简得，所以，故的方程为，即恒过定点.

试题解析：

（I）由抛物线在第一象限内的点到焦点的距离为，

得，，

抛物线的方程为，

在第一象限的图象对应的函数解析式为，则，

故在点处的切线斜率为，切线的方程为，

令得，所以点的坐标为.

故线段的长为2.

（II）恒过定点，理由如下：

由题意可知的方程为，因为与相交，故.

由，令，得，故.

设，，

由消去得：，

则，.

直线的斜率为，同理直线的斜率为，

直线的斜率为.

因为直线的斜率依次成等差数列，

所以.

即.

整理得：，

因为不经过点，所以，

所以，即.

故的方程为，即恒过定点