Question

【题目】如图， 面， ， ， 为的中点．

（Ⅰ）求证： 平面．

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得，若存在，求出的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（）见解析（）（）见解析.

【解析】试题分析：（1）， ，所以平面；（2）建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值；（3）由点在线段上，则， ，由，得，所以存在点。

试题解析：

（）证明：∵平面， 平面，

∴．

∵， ，

∴平面．

又平面，

∴．

∵， 为的中点，

∴．

又∵，

∴平面．

（）如图，在平面内作，则， ， 两两垂直，建立空间直角坐标系．则， ， ， ， ．

， ， ．

设平面的法向量为，则：

，即，令，则．

∴．

由（）可知为平面的一个法向量，

∴．

∵二面角为锐角，

∴二面角的余弦值为．

（）证明：设是线段上一点，且， ，

即，

∴， ， ．

∴．

由，得，

∴线段上存在点，使得，此时．