题目内容

设Sn=
1
2
+
1
6
+
1
12
+…+
1
n(n+1)
(n∈N*)，且Sn+1•Sn+2=
3
4
，则n的值是
5
5
．
分析：将通项裂项
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，求出Sn=
n
n+1
后，代入S n+1•Sn+2 解出n即可．
解答：解：∵
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，∴Sn=(1-
1
2
)+ (
1
2
-
1
3
)+…+（
1
n
-
1
n+1
）=1-
1
n+1
=
n
n+1

∴S n+1•Sn+2=
n+1
n+2
•
n+2
n+3
=
n+1
n+3
=
3
4
，解得n=5
故答案为：5．
点评：本题考查裂项法数列求和，常用于异分母分式形式．
练习册系列答案
相关题目
设Sn=
1
2
+
1
6
+
1
12
+…+
1
n(n+1)
，若Sn•Sn+1=
3
4
，则n的值为（　　）
A、6B、7C、8D、9
设Sn=
1
2
+
1
6
+
1
12
+…+
1
n(n+1)
， 且 Sn•Sn+1=
3
4
，则n的值为
6
6
．
设Sn=
1
2
+
1
6
+
1
12
+…+
1
n2+n
，且Sn•Sn+1 =
3
4
，则n=
6
6
．
（2006•嘉定区二模）设Sn=
1
2
+
1
6
+
1
12
+…+
1
n(n+1)
，且Sn•Sn+1=
3
4
，则n的值是（　　）

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