Question

设Sn=

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

n2+n

，且Sn•Sn+1 =

3

4

，则n=

6

．

Answer 1

分析：由于

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，可考虑利用裂项求和求S_n，代入S_nS_n+1可求n

解答：解：∵

1

n2+n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn=

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

n2+n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴S_nS_n+1=

n

n+1

•

n+1

n+2

=

n

n+2

=

3

4

∴n=6
故答案为：6

点评：本题主要考查利用裂项求和的方法的应用，这是数列求和的一个重要方法，要注意掌握．