题目内容

设函数上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若，且P点的横坐标为
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若，n∈N*，求Sn；
（3）记Tn为数列的前n项和，若对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．
【答案】分析：（1）可设，由，可得，代入解析式验证即可．
（2）由（1）知，而由，可变形为两式相加可得到解决．
（3）由（2）知所以可得到可变形为裂项求得Tn，再研究恒成立问题．
解答：解：（1）设，
又∵，
∴，
又，
∴

（2）由x1+x2=1，得
∴，
又
∴，即
（3）∵，∴，∴，
从而，
由，∴
令，易证g（n）在上是增函数，在上是减函数，我
且g（3）=7，g（4）=7，∴g（n）的最大值为7，即，
∴
点评：本题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=
2x
2x+
2
的图象上两点P1（x1，y1） P2（x2，y2），若
OP
=
1
2
（
OP1
+
OP2
），且点P的横坐标为
1
2
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求Sn；
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n项和，若Tn＜a（Sn+1+
2
）对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围
设函数f(x)=
3x
3x+
3
上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，且P点的横坐标为
1
2

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求Sn；
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
3
2
)(Sn+1+
3
2
)
}的前n项和，若Tn＜a•(Sn+2+
3
2
)对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．
设函数y=f(x)=
2x
2x+
2
上两点p1（x1，y1），p2（x2，y2），若
op
=
1
2
(
op1
+
op2
)，且P点的横坐标为
1
2
．
（1）求P点的纵坐标；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)+f(
n
n
)，求Sn；
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n项和，若Tn＜a(Sn+2+
2
)对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．
设函数f（x）=
2x
2x+
2
的图象上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若
OP
=
1
2
（
OP1
+
OP2
），且点P的横坐标为
1
2
．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）求Sn=f（
1
n
）+f（
2
n
）+A+f（
n-1
n
）+f（
n
n
）
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
2
)(Sn+1+
2
)
}的前n项和，若Tn＜a（Sn+1+
2
）对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围．
已知函数f（x）=alnx-（x-1）2-ax（常数a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0．如果对于f（x）的图象上两点P1（x1，f（x1）），P2（x2，f（x2））（x1＜x2），存在x0∈（x1，x2），使得f（x）的图象在x=x0处的切线m∥P1P2，求证：x0＜
x1+x22
．

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