题目内容

设函数f(x)=
3x
3x+
3
上两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），若
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，且P点的横坐标为
1
2

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个值；
（2）若Sn=
n
i=1
f(
i
n
)，n∈N*，求Sn；
（3）记Tn为数列{
1
(Sn+
3
2
)(Sn+1+
3
2
)
}的前n项和，若Tn＜a•(Sn+2+
3
2
)对一切n∈N*都成立，试求实数a的取值范围．
分析：（1）可设
OP
=(
1
2
，yp)，由
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，可得x1+x2=1，yp=
y1+y2
2
，代入解析式验证即可．
（2）由（1）知y1+y2=f(x1)+f(x2)=1，f(1)=
3-
3
2
，而由Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)+f(
n
n
)，可变形为Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)++f(
1
n
)+f(
n
n
)两式相加可得到解决．
（3）由（2）知Sn=
n+2-
3
2
所以可得到Sn+
3
2
=
n+2
2
，Sn+1+
3
2
=
n+3
2
1
(Sn+
3
2
)(Sn+1+
3
2
)
可变形为
4
(n+2)(n+3)
裂项求得Tn，再研究恒成立问题．
解答：解：（1）设
OP
=(
1
2
，yp)，
又∵
OP
=
1
2
(
OP1
+
OP2
)，
∴x1+x2=1，yp=
y1+y2
2
，
又y1+y2=
3x1
3x1+
3
+
3x2
3x2+
3
=1，
∴yp=
y1+y2
2
=
1
2


（2）由x1+x2=1，得y1+y2=f(x1)+f(x2)=1，f(1)=
3-
3
2

∴Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)++f(
n-1
n
)+f(
n
n
)，
又Sn=f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)++f(
1
n
)+f(
n
n
)
∴2Sn=
1+1++1+1+1
n-1个
+2f(1)=n+2-
3
，即Sn=
n+2-
3
2

（3）∵Sn+
3
2
=
n+2
2
，∴Sn+1+
3
2
=
n+3
2
，∴
1
(Sn+
3
2
)(Sn+1+
3
2
)
=
4
(n+2)(n+3)
，
从而Tn=4[
1
3×4
+
1
4×5
++
1
(n+2)(n+3)
]=
4
3
•
n
n+3
，
由Tn＜a(Sn+2+
3
2
)，Sn+2+
3
2
＞0，∴a＞
Tn
Sn+2+
3
2
=
8
3
•
n
(n+3)(n+4)
=
8
3
•
1
n+
12
n
+7

令g(n)=n+
12
n
，易证g（n）在[2
3
，+∞)上是增函数，在(0，2
3
)上是减函数，我
且g（3）=7，g（4）=7，∴g（n）的最大值为7，即
8
3
•
1
n+
12
n
+7
≤
4
21
，
∴a＞
4
21
点评：本题主要考查函数与数列间的渗透，两者都有规律可循经常结合为难度较大的题目，解决思路往往是通过函数的规律，由点的坐标建立数列模型来考查数列的通项或前N项和，进而设置不等式恒成立问题，考查数列的增减性或放缩的方法．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x)=
3x+4
x2+1
，g(x)=
6a2
x+a
，a＞
1
3
．
（1）求函数f（x）的极大值与极小值；
（2）若对函数的x0∈[0，a]，总存在相应的x1，x2∈[0，a]，使得g（x1）≤f（x0）≤g（x2）成立，求实数a的取值范围．
设函数f(x)=
3x，x≤0
log3x，x＞0
，则f[f（-1）]=（　　）
设函数f(x)=
3x+1
x2-1
-
2
x-1
(x≠1)
a(x=1)
在x=1处连续，则a的值为（　　）
A、
1
2
B、
1
4
C、-
1
3
D、-
1
2
设函数f(x)=
3x，x∈(-∞，1]
log81x，x∈(1，+∞).
则f(f(
1
4
))的值为
1
16
1
16
．
设函数f(x)=
3
x
+lnx，则（　　）

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