Question

设函数f（x）=

2x

2x+ 2

的图象上两点P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂），若

OP

=

1

2

（

OP1

+

OP2

），且点P的横坐标为

1

2

．
（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（2）求Sn=f（

1

n

）+f（

2

n

）+A+f（

n-1

n

）+f（

n

n

）
（3）记T_n为数列{

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

}的前n项和，若T_n＜a（S_n+1+

2

）对一切n∈N^*都成立，试求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于点在函数图象上，同时满足

OP

=

1

2

（

OP1

+

OP2

），那么利用坐标化简得到结论．
（2）根据f （x₁）+f （x₂）=y₁+y₂=1，f （1）=2-

2

，结合倒序相加法求解得到结论．
（3）根据已知的和式得到

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

=

1

n+3 2 • n+4 2

=

4

(n+3)(n+4)

=4(

1

n+3

-

1

n+4

)，裂项求和的数学思想得到证明．

解答：解：（1）证：∵

OP

=

1

2

（

OP1

+

OP2

），
∴P是P₁P₂的中点⇒x₁+x₂=1------（2分）
∴y₁+y₂=f（x₁）+f（x₂）=

2x1

2x1+ 2

+

2x2

2x2+ 2

=

2x1

2x1+ 2

+

21-x1

21-x1+ 2

=

2x1

2x1+ 2

+

2

2 •2x1+2

=1．
∴yp=

1

2

(y1+y2)=

1

2

．．-----------------------------（4分）
（2）解：由（1）知x₁+x₂=1，f （x₁）+f （x₂）=y₁+y₂=1，f （1）=2-

2

，
S_n=f（

1

n

）+f（

2

n

）+…+f（

n-1

n

）+f（

n

n

），
S_n=f（

n

n

）+f（

n-1

n

）+…+f（

2

n

）+f（

1

n

），
相加得 2S_n=f（1）+[f（

1

n

）+f（

n-1

n

）]+[f（

2

n

）+f（

n-2

n

）]+…+[f（

n-1

n

）+f（

1

n

）]+f（1），
=2f（1）+n-1=n+3-2

2

∴Sn=

n+3-2 2

2

．------------（8分）
（3）解：

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

=

1

n+3 2 • n+4 2

=

4

(n+3)(n+4)

=4(

1

n+3

-

1

n+4

)，
Tn=4[(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)]--------------------（10分）　
　Tn＜a(Sn+1+

2

)?a＞

Tn

Sn+1+ 2

=

2n

(n+4)2

=

2

n+ 16 n +8

∵n+

16

n

≥8，当且仅当n=4时，取“=”
∴

2

n+ 16 n +8

≤

2

8+8

=

1

8

，因此，a＞

1

8

-------------------（12分）

点评：本试题主要考查了函数，与向量，以及数列的知识的综合运用．以函数为模型，确定点的坐标关系式，进一步结合向量得到结论，并利用倒序相加法求解和，同时利用裂项求和得到不等式的证明．