Question

设函数f（x）=

2x

2x+ 2

的图象上两点P₁（x₁，y₁） P₂（x₂，y₂），若

OP

=

1

2

（

OP1

+

OP2

），且点P的横坐标为

1

2

（1）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（2）若S_n=

n

i=1

f(

i

n

)，n∈N*，求S_n；
（3）记T_n为数列{

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

}的前n项和，若T_n＜a（Sn+1+

2

）对一切n∈N*都成立，试求a的取值范围

Answer 1

分析：（1）中P点的纵坐标为定值需利用向量的知识，得到x₁+x₂=1，再代入函数解析式中求解；（2）中求s_n需利用（1）的结论，运用数列中倒序相加求和的方法解之；（3）在（2）的条件下求出数列利用裂项相加法解出数列

1

(sn+ 2 )(sn+1+ 2 )

通项，再利用裂项相加法求出T_n，再将不等式Tn＜a(sn+1+

2

)变形，利用均值不等式求出

Tn

sn+1+ 2

的最大值即可．

解答：（1）证明：∵

OP

=

1

2

(

OP1

+

OP2

)，∴P是P₁P₂的中点，∴x₁+x₂=1（2分）
∴y1+y2=f(x1)+f(x2)=

2x1

2x1+ 2

+

2x2

2x2+ 2

=

2x1

2x1+ 2

+

21-x1

21-x1+ 2

=

2x1

2x1+ 2

+

2

2+ 2 ×2x1

=

2x1

2x1+ 2

+

2

2x1+ 2

=1
∴yp=

1

2

(y1+y2)  =

1

2

（6分）
（2）解：由（1）知x₁+x₂=1，f（x₁）+f（x₂）=y₁+y₂=1，f（1）=2-

2

，，Sn=f(

n

n

) +f(

n-1

n

) +…+f(

2

n

) +f(

1

n

)
相加得2Sn=f(1)+[f(

1

n

)+f(

n-1

n

)]+[f(

2

n

)+f(

n-2

n

)]+…+[f(

n-1

n

) +f(

1

n

)]+f(1)
=2f（1）+1+1+…+1（n-1个1）=n+3-2

2

∴Sn=

n+3-2 2

2

（10分）
（3）解：

1

(Sn+ 2 )(Sn+1+ 2 )

=

1

n+3 2 • n+4 2

=

4

(n+3)(n+4)

=4(

1

n+3

-

1

n+4

)
Tn=4[(

1

4

-

1

5

)+(

1

5

-

1

6

)+…+(

1

n+3

-

1

n+4

)]=

n

n+4

（12分）
Tn＜a(Sn+1+

2

)?a＞

Tn

Sn+1+ 2

=

2n

(n+4)2

 =

2

n+ 16 n +8

∵n+

16

n

≥8，当且仅当n=4时，取“=”∴

2

n+ 16 n +8

≤

2

8+8

=

1

8

，因此，a＞

1

8

（14分）

点评：本题综合考查了指数函数和向量，基本不等式，数列的通项公式及其数列的求和方法和运算的基本技能等．指数函数与数列，不等式等其它知识的交汇命题，考查学生对知识的灵活应用及其综合分析推理的能力．