Question

已知函数f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常数a∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设a＞0．如果对于f（x）的图象上两点P₁（x₁，f（x₁）），P₂（x₂，f（x₂））（x₁＜x₂），存在x₀∈（x₁，x₂），使得f（x）的图象在x=x₀处的切线m∥P₁P₂，求证：x0＜

x1+x2

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知函数f（x）=alnx-（x-1）²-ax（常数a∈R），对其进行求导，根据a的范围进行分类讨论，求出f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知f（x）的图象在x=x₀处的切线m∥P₁P₂，把x₀代入f′（x），再求出f（

x1+x2

2

），要证x0＜

x1+x2

2

，只要证f′(x0)＞f′(

x1+x2

2

)即可；

解答：解：（ I）f（x）的定义域为（0，+∞），
f′(x)=

a

x

-2(x-1)-a=

(1-x)(2x+a)

x

（2分）
①a≥0时，f（x）的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）
②-2＜a＜0时，f（x）的增区间为（-

a

2

，1），减区间为（0，-

a

2

），（1，+∞）
③a=-2时，f（x）减区间为（0+∞）
④a＜-2时，f（x）的增区间为（1，-

a

2

），减区间为（0，1），（-

a

2

，+∞）
（ II）由题意

f′(x0)=kP1P2= f(x2)-f(x1) x2-x1

=

aln x2 x1

x2-x1

-（x₁+x₂-2）-a
又：f′(

x1+x2

2

)=

2a

x1+x2

-(x1+x2-2)-a．（9分）
f′（x）=

a

x

-2(x-1)-a（a＞0）在，（0，+∞）上为减函数
要证x0＜

x1+x2

2

，只要证f′(x0)＞f′(

x1+x2

2

)
即

aln x2 x1

x2-x1

＞

2a

x1+x2

，即证ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

（13分）
令t=

x2

x1

＞1，g(t)=lnt-

2(t-1)

t+1

，g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

＞0
∴g（t）在（1，+∞）为增函数，
∴g（t）＞g（1）=0，
∴lnt＞

2(t-1)

t+1

，

lnt

t-1

＞

2

t+1

即ln

x2

x1

＞

2(x2-x1)

x1+x2

∴x₀＜

x1+x2

2

证（15分）

点评：此题主要考查利用导数求函数的单调性，利用了分类讨论的思想和转化的思想，是一道综合性比较强的题，第二问证明比较难，注意问题的转化及证明方法分析法的使用；