Question

13．函数f（x）=ax²-2014x+2015（a＞0），在区间[t-1，t+1]（t∈R）上函数f（x）的最大值为M，最小值为N．当t取任意实数时，M-N的最小值为1，则a=1．

Answer 1

分析 结合二次函数的图象可知，当且仅当区间[t-1，t+1]的中点是对称轴时，只要满足[t-1，t+1]上M-N=1成立，则对其它任何情况必成立．

解答 解：因为a＞0，所以二次函数f（x）的图象开口向上，
在区间[t-1，t+1]（t∈R）上函数f（x）的最大值为M，最小值为N，
当t取任意实数时，M-N的最小值为1，
只需t=$\frac{1007}{a}$时，f（t+1）-f（t）=1，
即a（t+1）²-2014（t+1）+2015-（at²-2014t+2015）=1，
即2at+a-2014=1，将t=$\frac{1007}{a}$代入得a=1，
故答案为：1．

点评 本题考查了利用函数的最值研究恒成立问题的思路，同时结合函数图象分析问题是关键．