Question

20．已知圆C过P（2，6），Q（-2，2）两点，且圆心C在直线3x+y=0上．
（1）求圆C的方程．
（2）若直线l过点P（0，5）且被圆C截得的线段长为4$\sqrt{3}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）把点P、Q的坐标和圆心坐标代入圆的标准方程，利用待定系数法求得系数的值；
（2）分类讨论，斜率存在和斜率不存在两种情况．
①当直线l的斜率不存在时，满足题意，易得直线方程；   
②当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx，由点到直线的距离公式求得k的值．

解答 解：（1）方法一　设圆的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，依题意有$\left\{\begin{array}{l}{2D+6E+F=0}\\{-2D+2E+F=-8}\\{-\frac{3D}{2}-\frac{E}{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{D=4}\\{E=-12}\\{F=24}\end{array}\right.$，
故所求圆的方程为x²+y²+4x-12y+24=0．
（2）如图所示，|AB|=4$\sqrt{3}$，设D是线段AB的中点，
则 CD⊥AB，
∴|AD|=2$\sqrt{3}$，|AC|=4．
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．
当直线l的斜率不存在时，满足题意，
此时方程为x=0．      
当直线l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y-5=kx，
即kx-y+5=0．由点C到直线AB的距离公式：
$\frac{|-2k-6+5|}{\sqrt{k2+1}}$=2，得k=$\frac{3}{4}$，此时直线l的方程为
3x-4y+20=0．          
∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有两点间的距离公式，点到直线的距离公式，圆的标准方程，属于中档题．