Question

8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足2cos C（a cos B+b cos A ）=c．
①求C；    
②若c=$\sqrt{7}$，ab=6．
求△ABC的周长．

Answer 1

分析 ①根据正弦定理可得cosC=$\frac{1}{2}$，即可求出C，
②根据余弦定理即可求出a+b的值，即可得到三角形的周长．

解答 解：①∵2cosC（acosB+bcosA）=c
由正弦定理得2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
∴2cosCsin（A+B）=sinC，
∴2cosCsinC=sinC，
∵C∈（0，π），
∴sinC≠0，
∴cosC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$；
②由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，
∴7=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab═（a+b）²-18，
解得a+b=5或a+b=-5（舍），
∴a+b=5，
∴△ABC的周长为a+b+c=5+$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了学生的运算能力，属于中档题．