Question

已知AB是椭圆

x2

20102

+

y2

b2

=1（2010＞b＞0）的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作AB垂线，依次交椭圆的上半部分于P₁，P₂，…，P₂₀₀₉，F₁为椭圆的左焦点，则

1

2010

×（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）的值是

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设P是任意一个等分点与椭圆

x2

20102

+

y2

b2

=1（2010＞b＞0）的交点，则必有一个与P对称的点P′，使得|PF1|+|P′F1|=|PF1|+|PF2|=2a=2×2010，这样的点共有2010对，包括A，B两点，由此能求出结果．

解答： 解：设P是任意一个等分点与椭圆

x2

20102

+

y2

b2

=1（2010＞b＞0）的交点，
则必有一个与P对称的点P′，
使得|PF1|+|P′F1|=|PF1|+|PF2|=2a=2×2010，
这样的点共有2010对，包括A，B两点，
∴

1

2010

×（|F₁A|+|F₁P₁|+|F₁P₂|+…+|F₁P₂₀₀₉|+|F₁B|）
=

1

2010

×[(2×2010)×2010]
=2×2010
=4020．
故答案为：4020．

点评：本题考查椭圆性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．