Question

在三棱锥P-ABC中，已知PB⊥平面ABC，M，N分别是PA，PC的中点，AB⊥AC，AB=

3

，AC=PB=1．
（1）求证：MN∥平面ABC；
（2）求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得MN∥AC，由此能证明MN∥平面ABC．
（2）由已知得S_△ABC=

1

2

×AB×AC=

1

2

×

3

×1=

3

2

，由V_P-ABC=

1

3

×PB×S△ABC，能求出结果．

解答： （1）证明：∵M，N分别是PA，PC的中点，
∴MN∥AC，
∵MN不包含于平面ABC，AC?平面ABC，
∴MN∥平面ABC．
（2）解：∵PB⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=

3

，AC=PB=1，
∴S_△ABC=

1

2

×AB×AC=

1

2

×

3

×1=

3

2

，
∴V_P-ABC=

1

3

×PB×S△ABC=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．