Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a₂=5，a_n+2=4a_n+1-4a_n．
（1）求数列{a_n}前三项之和S₃的值；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}是等比数列；
（3）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等比关系的确定,数列的求和,数列递推式

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列

分析：（1）由数列的递推，可求出a₃，进而得到前三项的和；
（2）运用等比数列的定义，求出b_n+1，化简即可得证；
（3）由（2），运用等比数列的通项公式，再两边除以2ⁿ⁺¹，得到等差数列，再由等差数列的通项公式，即可得到数列{a_n}的通项公式．

解答： （1）解：a₁=1，a₂=5，a_n+2=4a_n+1-4a_n．则a₃=4a₂-4a₁=20-4=16，
则S₃=a₁+a₂+a₃=1+5+16=22；
（2）证明：b_n=a_n+1-2a_n，则b₁=a₂-2a₁=5-2=3，
b_n+1=a_n+2-2a_n+1=4a_n+1-4a_n-2a_n+1=2a_n+1-4a_n
=2（a_n+1-2a_n）=2b_n，
则数列{b_n}是首项为3，公比为2的等比数列；
（3）解：由（2）得，b_n=b₁•2^n-1=3•2^n-1，
即有a_n+1-2a_n=3•2^n-1，
即

an+1

2n+1

-

an

2n

=

3

4

，
则数列{

an

2n

}是首项为

a1

2

=

1

2

，公差为

3

4

的等差数列，
则有

an

2n

=

1

2

+

3

4

（n-1）=

3n-1

4

，
则a_n=

3n-1

4

•2n．

点评：本题考查数列的通项的求法，注意构造新数列，考查等比数列的定义，以及等差数列的定义和通项公式的运用，考查运算能力，属于中档题．