Question

19．如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．
（1）求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$．
（2）求AD•AE的值．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理推导出△PAB～△PCA，由此能证明$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$．
（2）由切割线定理得PA²=PB•PC，由AE是∠BAC的角平分线，得△AEC～△ABD，由此能求出AD•AE的值．

解答 证明：（1）∵PA为圆O的切线，∴∠PAB=∠ACP，
又∠P为公共角，∴△PAB～△PCA，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}$（4分）
解：（2）∵PA为圆O的切线，BC是过点O的割线，
∴PA²=PB•PC，∴PC=40，BC=30，
又∠CAB=90°，∴AC²+AB²=BC²=900，
又由（1）知$\frac{AB}{AC}=\frac{PA}{PC}=\frac{1}{2}$，∴$AC=12\sqrt{5}$，$AB=6\sqrt{5}$，
∵AE是∠BAC的角平分线，且∠AEC=∠ABD，∴△AEC～△ABD，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AC}$，
∴$AD•AE=AB•AC=6\sqrt{5}×12\sqrt{5}=360$．（10分）

点评 本题考查两组线段比值相等的证明，考查两线段乘积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意弦切角定理和切割线定理的合理运用．