Question

4．在平面直角坐标系xoy中，设点F（1，0），直线l：x=-1，点P在直线l上移动，R是线段PF与y轴的交点，RQ⊥FP，PQ⊥l．
（1）求动点Q的轨迹的方程．
（2）记Q的轨迹的方程为E，曲线E与直线y=kx-2相交于不同的两点A，B，且弦AB中点的纵坐标为2，求k的值．

Answer 1

分析 （1）求出直线l的方程．利用点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，|PQ|是点Q到直线l的距离．然后求出动点Q的轨迹方程．
（2）（法一）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$消去x，利用韦达定理以及中点坐标个数，求出k即可．
（法二）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用平方差法求解即可．

解答 解：（1）依题意知，直线l的方程为：x=-1．点R是线段FP的中点，且RQ⊥FP，
∴RQ是线段FP的垂直平分线-----（1分）
∴|PQ|是点Q到直线l的距离．
∵点Q在线段FP的垂直平分线，∴|PQ|=|QF|-----（3分）
故动点Q的轨迹E是以F为焦点，l为准线的抛物线，其方程为：y²=4x（x＞0）-----（5分）
（2）（法一）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），依题意知，k≠0，由$\left\{{\begin{array}{l}{y=kx-2}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$有，$y=k\frac{y^2}{4}-2$
即ky²-4y-8=0，-----（7分）
∴${y_1}+{y_2}=\frac{4}{k}$，-----（8分）
又$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2$，∴k=1-----（10分）
又当k=1时，△=16+32k＞0，所以k=1满足题意，-----（11分）
∴k的值是1-----（12分）
（法二）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}^2=4{x_1}}\\{{y_2}^2=4{x_2}}\end{array}}\right.$，-----（6分）
两式相减有${y_1}^2-{y_2}^2=4（{x_1}-{x_2}）$，
∴$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{4}{{{y_1}+{y_2}}}$，-----（9分）
又$k=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}，\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=2$，-----（11分）
则k=1-----（12分）

点评 本题考查抛物线的简单性质的应用，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．