Question

15．已知直线y=kx+3与圆（x-2）²+（y-3）²=4相交于M，N两点，点$|MN|≥2\sqrt{3}$，求k的取值范围．

Answer 1

分析 利用垂径定理及勾股定理表示出弦长|MN|，列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围．

解答 解：由圆的方程得：圆心（2，3），半径r=2，
∵圆心到直线y=kx+3的距离d=$\frac{|2k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，|MN|≥2$\sqrt{3}$，
∴2$\sqrt{4-\frac{4{k}^{2}}{{k}^{2}+1}}$≥2$\sqrt{3}$，
变形整理得4k²+4-4k²≥3k²+3，
解得：-$\frac{\sqrt{3}}{3}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴k的取值范围是[-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查了直线与圆相交的性质，考查垂径定理及勾股定理，考查学生的计算能力，属于中档题．