Question

已知函数y=f（x）满足

a

=(x2，y)，

b

=(x-

1

x

，-1)，且

a

•

b

=-1．如果存在正项数列{a_n}满足：a1=

1

2

，

n

i=1

f(ai)-n=

n

i=1

ai3-n2an(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）证明：

n

i=1

ai i

＜3．

Answer 1

考点：数列与向量的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）先根据函数y=f（x）满足

a

=(x2，y)，

b

=(x-

1

x

，-1)，且

a

•

b

=-1可的函数关系式，进而利用满足：a1=

1

2

，

n

i=1

f(ai)-n=

n

i=1

ai3-n2an(n∈N*)． 从而利用叠乘可求数列{a_n}的通项；
（2）由题意得，利用裂项法求和，和不等式的性质．即可证明．

解答： 证明：（1）

∵ a • b =-1

，∴y=x³-x+1（x≠0），
∵

n

i=1

f(ai)-n=

n

i=1

ai3-n2an(n∈N*)，
∴

n

i=1

ai=n2an (1)
又∵

n-1

i=1

ai=(n-1)2an-1(2)
两式相减得：

an

an-1

=

n-1

n+1

．
则an=

an

an-1

•

an-1

an-2

…

a2

a1

=

1

n(n+1)

(n∈N*)，
（2）由（1）得：

n

i=1

ai i

=

n

i=1

1 i2(i+1)

，
∵

1 i2(i+1)

＜

1 (i-1)i(i+1)

＜

2

(i-1)(i+1)•( i-1 + i-1 )

=

1

i-1

-

1

i-1

(i≥2)
∴

n

i=1

1 i2(i+1)

=

1 2

+

n

i=2

1 i2(i+1)

＜

1 2

+

n

i=2

(

1

i-1

-

1

i-1

)
=

1 2

+1+

1 2

-

1

n

-

1

n+1

＜1+

2

＜3．
问题得证明．

点评：本题以向量为载体，考查数列问题，考查叠乘法求数列的通项，考查裂项法求和，由一定的综合性．