Question

设F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+y²=1的左、右焦点，斜率为k的直线l经过右焦点F₂，且与椭圆相交于A，B两点，且△ABF₁的周长为4

2

．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）如果△ABF₁的重心在y轴上，求直线l的斜率k．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由△ABF₁的周长为4

2

，知4a=4

2

，由此能求出椭圆的方程．
（Ⅱ）直线l：y=k（x-1），联立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，由此利用韦达定理、根的判别式和三角形重心坐标公式能求出直线l的斜率．

解答： 解：（Ⅰ）∵F₁，F₂分别为椭圆

x2

a2

+y²=1的左、右焦点，
斜率为k的直线l经过右焦点F₂，且与椭圆相交于A，B两点，
且△ABF₁的周长为4

2

，
∴4a=4

2

，解得a=

2

，
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）∵椭圆的方程为

x2

2

+y2=1，
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），∴直线l：y=k（x-1），
联立

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，
△=16k⁴-4（1+2k²）（2k²-2）＞0，
∵△ABF₁的重心在y轴上，
∴x₁+x₂-1=

4k2

1+2k2

-1=0，
解得k=±

2

2

，满足△＞0．
∴直线l的斜率k=±

2

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线的斜率的求法，解题时要认真审题，注意三角形重心坐标公式的合理运用．