Question

设a＞0，两个函数f（x）=e^ax，g（x）=blnx的图象关于直线y=x对称．
（1）求实数a，b满足的关系式；
（2）当a=1时，在（

1

2

，+∞）上解不等式f（1-x）+g（x）＜x²．
（3）试指出函数h（x）=f（x）-g（x）在（0，

1

e

]的零点个数，并给出证明．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）根据函数的对称性即可求实数a，b满足的关系式；
（2）当a=1时，构造函数，求函数的导数，利用导数即可解不等式f（1-x）+g（x）＜x²．
（3）求函数的导数，利用导数研究函数的零点问题．

解答： 解：（1）设P（x，e^ax）是函数f（x）=e^ax图象上任一点，则它关于直线y=x对称的点P′（e^ax，x）在函数g（x）=blnx的图象上，
则x=blne^ax=abx，
∴ab=1．
（2）当a=1时，设r（x）=f（1-x）+g（x）-x²=e^1-x+lnx-x²，
则r′（x）=-e^1-x+

1

x

-2x，
当x∈（

1

2

，1）时，

1

x

-2x＜2-1=1，-e^1-x＜-1，则r′（x）＜0，
当x∈[1，+∞）时，

1

x

-2x＜1-2=-1，-e^1-x＜0，则r′（x）＜0，
∴r（x）在（

1

2

，+∞）上是减函数．
又r（1）=0，
则不等式f（1-x）+g（x）＜x²解集是（1，+∞）．
（3）当a＞0时，若函数h（x）=f（x）-g（x）有且只有一个零点，
即两个函数的图象有且只有一个交点，
∵两个函数关于直线y=x对称，
∴两个函数图象的交点就是函数f（x）=e^ax，的图象与直线y=x的切点．
设切点为A（x₀，eax0），x₀=eax0，f′（x）=ae^ax，
∴aeax0=1，ax₀=1，
则x₀=eax0=e，
∴当a=

1

x0

=

1

e

时，函数h（x）=f（x）-g（x）有且只有一个零点x=e；
当a∈(0，

1

e

)时，h(x)=eax-

lnx

a

，h′(x)=eax•a-

1

ax

，h″(x)=eax•a2+

1

ax2

＞0，
∴h'（x）在（0，+∞）上单调增函数，
又x→0，h'（x）→-∞；，x→+∞，h'（x）→+∞，
设h'（x₀）=0，则在（0，x₀]上单调减，在[x₀，+∞）上单调增．
∵h(

1

e

)=e

a

e

+

1

a

＞0，
∵0＜a＜

1

e

∴-

1

a

＜-e，
∴h(e)=eae-

1

a

＜e-e=0，
x→+∞，h（x）→+∞，
∴h（x）在（0，+∞）上有两零点
综上，a∈(0，

1

e

)，h（x）在（0，+∞）上有两零点；
a=

1

e

，h（x）在（0，+∞）上一个零点．

点评：本题主要考查导数的综合应用，利用条件构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．