Question

给出定义：若x-

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≤m＜x+

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 （其中m为整数），则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}=m．例如{0.1}=0，{0.5}=0，{0.6=1}．如果定义函数f（x）=x-{x}，给出下列命题：
①函数y=f（x）的定义域为R，值域为[-

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，

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]；
②函数y=f（x）在区间[-2，2]上有5个零点；
③函数y=f（x）是奇函数；
④函数y=f（x）在（-

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，

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）上是增函数．
其中正确的是（　　）

• A、①②
• B、②④
• C、②③
• D、①④

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：根据让函数解析式有意义的原则确定函数的定义域，然后根据解析式易用分析法求出函数的值域，可判断①；分析出函数y=f（x）=0在区间[-2，2]上解的个数，可判断②；分析函数的奇偶性，可判断③；而由①的结论，易判断函数y=f（x）在 （-

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，

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）上的单调性，可判断④成立．

解答： 解：①中，令x=m+a，a∈[-

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，

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），m∈Z，
∴f（x）=x-{x}=a∈[-

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，

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），所以①错误；
②中令x=m+a，a∈[-

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，

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），m∈Z，
∴当a=0时，f（x）=x-{x}=a；
此时m为整数，故函数y=f（x）在区间[-2，2]上有5个零点，
故②正确；
③中，x=-

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时，f（-

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）=-

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，
x=

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时，f（

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）=-

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，故函数y=f（x）不是奇函数，
故③错误；
④中，当x∈（-

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，

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）时，f（x）=x-{x}=x为增函数，
故④正确；
故选：B

点评：本题考查的知识点是利用函数的三要素、性质判断命题的真假，我们要根据定义中给出的函数，结合求定义域、值域的方法，及对称性、奇偶性和单调性的证明方法，对4个结论进行验证．