Question

已知函数f（x）=log

1

2

[x2-2(2a-1)x+8]，a∈R．
（1）若f（x）在[a，+∞）上为减函数，求a的取值范围；
（2）若关于x的方程f（x）=log

1

2

（x+3）-1在（1，3）内有两不等实根，求a的取值范围．

Answer 1

考点：复合函数的单调性,对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）由真数在[a，+∞）上为增函数且恒大于0列不等式组求得a的取值范围；
（2）由对数的运算性质化简，得到ax²-4ax+2=0在（1，3）内有两不等实根，然后借助于“三个二次”的结合列不等式组得答案．

解答： 解：（1）要使f（x）在[a，+∞）上为减函数，一方面g（x）=x²-2（2a-1）x+8递增，另一方面g（x）＞0，
∴2a-1≤a且g（a）=a²-2a（2a-1）+8＞0，解得-

4

3

＜a≤1；
（2）由已知得log

1

2

[x2-2(2a-1)x+8]=log

1

2

（x+3）-1在（1，3）内有两不等实根，
即x²-4ax+2=0在（1，3）内有两不等实根，
令F（x）=x²-4ax+2，
则

△＞0 1＜2a＜3 F(1)＞0 F(3)＞0

，
即

a＞ 2 2 或a＜- 2 2 1 2 ＜a＜ 3 2 a＜ 3 4 a＜ 11 12

，
解之得

2

2

＜a＜

3

4

．

点评：本题考查了复合函数的单调性，考查了对数的运算性质，训练了利用“三个二次”的结合求解参数的范围，是中档题．