Question

5．（1）在平面直角坐标系xOy中，设直线y=$\sqrt{3}$x+2^m和圆x²+y²=n²相切，其中m，n∈N^*，且0＜|m-n|≤1，若函数f（x）=m^x+1-n的零点x₀∈（k-2，k-1），k∈Z，求整数k的值．
（2）设a，b∈R且不为零，若直线ax+by-1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于B，且l与圆x²+y²=k²相交所得弦的长为2，O为坐标原点，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据直线和圆相切知圆心到直线的距离等于半径，得到关于m和n的一个关系，又有m，n∈N，0＜|m-n|≤1，得到m和n的值，代入所给的函数式，那么本题就变化为求一个函数的零点的范围，两边取对数，写出x的表示式，根据对数的图象得到范围．
（2）利用勾股定理，确定a²+b²=$\frac{1}{3}$，表示出△AOB面积，利用基本不等式求△AOB面积的最小值．

解答 解：（1）由直线y=$\sqrt{3}$x+2^m和圆x²+y²=n²相切有n=$\frac{{2}^{m}}{\sqrt{3+1}}$=2^m-1，
又m，n∈N^*，且0＜|m-n|≤1，
∴m=3，n=4，
∴函数f（x）=m^x+1-n=3^x+1-4，
要求函数的零点所在的区间，
令f（x）=0，
即3^x+1-4=0，
∴3^x+1=4，
∴x+1=log₃⁴，
∴x=log₃⁴-1
∵log₃⁴∈（1，2）
∴x∈（0，1）
而函数f（x）=m^x+1-n的零点x₀∈（k-2，k-1），k∈Z，∴k=2…（7分）
（2）直线与两坐标轴的交点坐标为A（0，$\frac{1}{b}$），B（$\frac{1}{a}$，0），由（1）知k=2，所以园的半径为2，
又直线与圆相交所得的弦长为2，则圆心到直线的距离d满足d²=r²-1²=4-1=3，
故$d=\sqrt{3}$，
即圆心到直线的距离d=$\frac{|-1|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{3}$，
∴a²+b²=$\frac{1}{3}$，
S=$\frac{1}{2}|\frac{1}{a}||\frac{1}{b}|$=$\frac{1}{2|ab|}$≥$\frac{1}{{a}^{2}+{b}^{2}}$=3，当且仅当|a|=|b|=$\frac{1}{6}$时取等号，
∴△AOB面积的最小值为3．…．（14分）

点评 本题考查直线和圆的位置关系，考查函数的零点，解决本题还要有归纳整理的能力，本题是一个综合题，运算量不大但是解题时技巧性比较强，是一个好题．