Question

10．（1）实数a，b满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+b+1＜0}\\{3a+b+9＞0}\end{array}\right.$，则在坐标平面aOb内，点（a，b）对应的区域S，求目标函数z=2a-b的取值范围．
（2）过点（-5，1）的光线经x轴反射后的光线过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案；
（2）求出可行域内的整点坐标，结合过点（-5，1）的光线经x轴反射后的光线必过点（-5，-1），再由直线上的两点求得直线l的方程．

解答 解：（1）由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+b+1＜0}\\{3a+b+9＞0}\end{array}\right.$作出可行域如图阴影部分所示，
联立方程组求得图中A，B，C三点的坐标分别为（-4，3），（-3，0），（-1，0），
令z=2a-b，则直线b=2a-z经过点A时z取得最小值，经过点C时z取得最大值，即z_min=-11，z_max=-2，
又A，B，C三点的值没有取到，∴-11＜z＜-2；
（2）过点（-5，1）的光线经x轴反射后的光线必过点（-5，-1），由图可知可能满足条件的整点为
（-3，1），（-3，2），（-2，2），（-2，1），再结合不等式知点（-3，1）符合条件，
∴此时直线方程为：$y+1=\frac{1-（-1）}{-3-（-5）}（x+5）$，即y=x+4．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的数学思想方法和数学转化思想方法，是中档题．