Question

18．己知直线l₁：mx-y+2=0（m∈R），直线l₂：x+my-2=0，点P是两直线的交点．
（1）判断两直线l₁、l₂的位置关系，并求点P的轨迹C的方程；
（2）已知M（1，1），设Q是直线x+y+2=0上的动点，QA．QB是轨迹C的两条切线，A，B为切点，求四边形QAMB的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由m×1+（-1）×m=0，可得两直线l₁、l₂垂直；直线l₁：mx-y+2=0（m∈R），直线l₂：x+my-2=0联立可得x=$\frac{-2m+2}{{m}^{2}+1}$，y=$\frac{2m+2}{{m}^{2}+1}$，消去参数，可得点P的轨迹C的方程；
（2）由对称性，QM最小时，四边形QAMB的面积最小，此时MQ⊥l₂，斜率为1，求出Q的坐标，即可求四边形QAMB的面积的最小值．

解答 解：（1）∵直线l₁：mx-y+2=0（m∈R），直线l₂：x+my-2=0，
∴m×1+（-1）×m=0，
∴两直线l₁、l₂垂直，
直线l₁：mx-y+2=0（m∈R），直线l₂：x+my-2=0联立可得x=$\frac{-2m+2}{{m}^{2}+1}$，y=$\frac{2m+2}{{m}^{2}+1}$，
∴x+y=$\frac{4}{{m}^{2}+1}$，x²+y²=$\frac{8}{{m}^{2}+1}$，
∴2x+2y=x²+y²，
∴点P的轨迹C的方程是（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）∵M（1，1）为轨迹C的圆心，
∴由对称性，QM最小时，四边形QAMB的面积最小，此时MQ⊥l₂，斜率为1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+y+2=0}\end{array}\right.$，可得Q（-1，-1），
∴MQ=2$\sqrt{2}$，∴QA=$\sqrt{6}$，
∴四边形QAMB的面积最小值为$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{6}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查求四边形QAMB的面积的最小值，考查轨迹方程，考查参数法的运用，属于中档题．