Question

12．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+（1-a）x+1．
（1）当a=1时，求函数f（x）在x=2处的切线方程；
（2）求函数f（x）在x∈[1，2]时的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（2），f′（2）的值，求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+1，
∴f′（x）=$\frac{1}{x}$-x，f（2）=ln2-1，
∴f′（2）=-$\frac{3}{2}$，即切线斜率k=-$\frac{3}{2}$，
故切线方程是：y=-$\frac{3}{2}$x+2+ln2；
（2）f′（x）=$\frac{-{ax}^{2}+（1-a）x+1}{x}$，（1≤x≤2），
a≤0时，f′（x）＞0在x∈[1，2]恒成立，
∴f（x）_max=f（2）=-4a+3+ln2，
0＜a≤$\frac{1}{2}$时，f（x）在x∈[1，2]递增，
∴f（x）_max=f（2）=-4a+3+ln2，
$\frac{1}{2}$＜a＜1时，f（x）在[1，$\frac{1}{a}$）递增，在（$\frac{1}{a}$，2）递减，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{a}$）=-lna+$\frac{1}{2a}$，
a≥1时，f（x）在x∈[1，2]递减，
∴f（x）_max=f（1）=-$\frac{3}{2}$a+2，
综上，f（x）_max=$\left\{\begin{array}{l}{-4a+3+ln2，a≤\frac{1}{2}}\\{-lna+\frac{1}{2a}，\frac{1}{2}＜a＜1}\\{-\frac{3}{2}a+2，a≥1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．