Question

5．已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|．
（I）当a=3时，解不等式f（x）＞5；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2a-1怛成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当a=3时，f（x）=|x+1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2，x＜-1}\\{4，-1≤x≤3}\\{2x-2，x＞3}\end{array}\right.$，分类求解不等式f（x）＞5，综合讨论结果，可得答案；
（Ⅱ）根据绝对值的性质，求出f（x）=|x+1|+|x-a|的最小值，由绝对值不等式进而可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：（I）当a=3时，f（x）=|x+1|+|x-3|=$\left\{\begin{array}{l}{-2x+2，x＜-1}\\{4，-1≤x≤3}\\{2x-2，x＞3}\end{array}\right.$，
当x＜-1时，解f（x）=-2x+2＞5得：x＜-$\frac{3}{2}$；
当-1≤x≤3时，解f（x）=4＞5恒不成立；
当x＞3时，解f（x）=2x-2＞5得：x＞$\frac{7}{2}$，
综上可得不等式f（x）＞5的解集为：（-∞，-$\frac{3}{2}$）∪（$\frac{7}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）关于x的不等式f（x）≥2a-1怛成立，
即有2a-1≤f（x）_min，
由|x+1|+|x-a|≥|（x+1）-（x-a）|=|a+1|，
则|a+1|≥2a-1，
可得a+1≥2a-1或a+1≤1-2a，
解得a≤2或a≤0，
则a的范围是（-∞，2]．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，绝对值三角不等式，注意运用转化思想，以及分类讨论思想方法，难度中档．