已知$\overrightarrow{a}$=.$\overrightarrow{b}$=(cosωx.2$\sqrt{3}$sinωx).函数f(x)=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+m.且f(x)的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$.并过点(0.2)．的解析式及其单调增区间,(Ⅱ)若对� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知$\overrightarrow{a}$=（2cosωx，cosωx），$\overrightarrow{b}$=（cosωx，2$\sqrt{3}$sinωx），函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+m（其中ω＞0，m∈R），且f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$，并过点（0，2）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及其单调增区间；
（Ⅱ）若对任意x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a，求实数a的取值范围．

分析（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式，三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象特征，正弦函数的单调性，求得函数f（x）的解析式及其单调增区间．
（Ⅱ）利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值，根据函数的恒成立问题的解决方法，求得a的范围．

解答解：（Ⅰ）函数f（x）=$\overrightarrow{a}$$•\overrightarrow{b}$+m=2cos²ωx+2$\sqrt{3}$sinωxcosωx=cos2ωx+1+$\sqrt{3}$sin2ωx
=2sin（2ωx+$\frac{π}{6}$）+1 （其中ω＞0，m∈R），
∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为$\frac{π}{6}$，
∴2ω•$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，∴ω=1，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
显然满足函数的图象过点（0，2）．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．
（Ⅱ）若对任意x₁，x₂∈[0，$\frac{π}{2}$]，都有|f（x₁）-f（x₂）|≤a，
则在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，函数的最大值减去最小值小于或等于a．
又在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
故函数的最大值为2sin$\frac{π}{2}$+1=2+1=3；最小值为2sin$\frac{7π}{6}$+1=0，
故a≥3-0=3，即a的范围为[3，+∞）．