Question

10．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且$\sqrt{3}$c=2asinC，
（1）求角A；
（2）若a=2，且△ABC的面积等于$\sqrt{3}$，求b，c．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理结合sinC≠0，化简已知可得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，结合A为锐角，可得A的值．
（2）由已知及余弦定理可得4=（b+c）²-3bc，利用三角形面积公式可得bc=4，联立即可解得b，c的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，∵$\sqrt{3}$c=2asinC．
∴由正弦定理可得：$\sqrt{3}$sinC=2sinAsinC，…（3分）
又∵sinC≠0，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵A为锐角，可得A=$\frac{π}{3}$，…（6分）
（2）∵由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，又a=2，A=$\frac{π}{3}$，可得：4=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，①
又∵△ABC的面积$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc，解得：bc=4，②
∴由①②可解得：b=c=2．…（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．