Question

1．下列五个命题中，
①若数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-2，则该数列为等比数列；
②若m≥-1，则函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-2x-m）的值域为R；
③函数y=f（2+x）与函数y=f（2-x）的图象关于直线x=2对称；
④已知向量$\overrightarrow{a}$=（-2，-1）与$\overrightarrow{b}$=（λ，1）A的夹角为钝角，则实数λ取值范围是（-$\frac{1}{2}$，+∞）；
⑤母线长为2，底面半径为$\sqrt{3}$的圆锥，过顶点的一个截面面积的最大值为$\sqrt{3}$
其中正确命题的个数为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 求出数列的通项公式，可判断①；确定出真数部分能取任意正数，可判断②；分析出两个函数图象的对称轴，可判断③；求出满足条件的实数λ取值范围，可判断④；求出面积最大的截面面积，可判断⑤．

解答 解：①若数列{a_n}的前n项和为S_n=3ⁿ-2，
则a_n=$\left\{\begin{array}{l}1，n=1\\ 2•{3}^{n-1}，n≥2\end{array}\right.$，
则该数列为等比数列错误；
②若m≥-1，则△=4+4m≥0，
故真数x²-2x-m可以为任意正值
则函数y=log${\;}_{\frac{1}{3}}$（x²-2x-m）的值域为R正确；
③函数y=f（2+x）与函数y=f（2-x）的图象关于y轴对称，故错误；
④已知向量$\overrightarrow{a}$=（-2，-1）与$\overrightarrow{b}$=（λ，1）A的夹角为钝角，
则$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|•\left|\overrightarrow{b}\right|}$＜0，且$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不平行，
解得：λ＞$-\frac{1}{2}$且λ≠2
则实数λ取值范围是（-$\frac{1}{2}$，2）∪（2，+∞），故错误；
⑤母线长为2，底面半径为$\sqrt{3}$的圆锥，轴截面顶角为钝角，
故过顶点的一个截面面积的最大值
在顶角为直角时取，最大值为2，故错误；
故选：A

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了等比数列的定义，对数函数的图象和性质，函数的对称变换，向量的夹角，旋转体的几何特征，难度中档．