Question

11．设f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$．
（1）判断函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，并按单调性定义证明．
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）可设0≤x₁＜x₂，已知函数的解析式，利用定义法进行求解．
（2）根据函数的单调性来求值域．

解答 解：（1）函数f（x）在[0，+∞）上是单调减函数．理由如下：
∵函数f（x）=$\frac{1-{x}^{2}}{1+{x}^{2}}$=-1+$\frac{2}{1+{x}^{2}}$在区间[0，+∞），
可以设0≤x₁＜x₂，
∴x₂-x₁＞0，x₂+x₁＞0，（1+x₁²）（1+x${{\;}_{2}}^{2}$）＞0，
可得f（x₁）-f（x₂）=（-1+$\frac{2}{1+{{x}_{1}}^{2}}$）-（-1+$\frac{2}{1+{{x}_{2}}^{2}}$）=$\frac{2（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{2}-{x}_{1}）}{（1+{{x}_{1}}^{2}）（1+{{x}_{2}}^{2}）}$＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在[0，+∞）上是单调减函数．
得证．
（2）由（1）知，函数f（x）在[0，+∞）上是单调减函数，则f（x）_最大值=f（0）=$\frac{1-0}{1+0}$=1，故f（x）的值域是（-∞，1]．

点评 此题主要考查函数的单调性的判断与证明，是一道基础题，考查的知识点比较单一．