Question

10．已知数列{a_n}的前n项和是S_n，且S_n+$\frac{1}{2}$a_n=1（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=${log_{\frac{1}{3}}}\frac{{{a_{n+1}}}}{2}$（n∈N^*），令T_n=$\frac{1}{b_1b_2}$+$\frac{1}{b_2b_3}$+…+$\frac{1}{b_nb_{n+1}}$，求T_n．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，由已知可得a₁=$\frac{2}{3}$，当n≥2时，可得a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1（n≥2），即可求出数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列，进一步求出数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得${b}_{n}=lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{1}{3}）^{n+1}$=n+1，求出$\frac{1}{bnbn+1}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，再由数列的求和公式计算得答案．

解答 解（1）当n=1时，a₁=S₁，由S₁+$\frac{1}{2}$a₁=1，得a₁=$\frac{2}{3}$，
当n≥2时，S_n=1-$\frac{1}{2}$a_n，S_n-1=1-$\frac{1}{2}$a_n-1，
则S_n-S_n-1=$\frac{1}{2}$（a_n-1-a_n），即a_n=$\frac{1}{2}$（a_n-1-a_n），
∴a_n=$\frac{1}{3}$a_n-1（n≥2）．
故数列{a_n}是以$\frac{2}{3}$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列．
故a_n=$\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=2•（\frac{1}{3}）^{n}$（n∈N^*）；
（2）由（1）可得${b}_{n}=lo{g}_{\frac{1}{3}}（\frac{1}{3}）^{n+1}$=n+1，
∵$\frac{1}{bnbn+1}$=$\frac{1}{（n+1）（n+2）}$=$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$，
∴T_n=$\frac{1}{b1b2}$+$\frac{1}{b2b3}$+…+$\frac{1}{bnbn+1}$
=$（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{4}）+…+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{n}{2（n+2）}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式，考查了数列的求和，是中档题．