Question

8．已知圆C的圆心在坐标原点，且与直线l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0相切．
（1）过点G（1，3）作两条与圆C相切的直线，切点分别为M，N，求直线MN的方程；
（2）若与直线l₁垂直的直线l与圆C交于不同的两点P，Q，且∠POQ为钝角，求直线l的纵截距的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由题意求出圆心（0，0）到直线l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距离，可得圆的半径长，得到圆的方程，连接OG，OM，由题意知|OG|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，|GM|=$\sqrt{O{G}^{2}-O{M}^{2}}=\sqrt{6}$，从而求得以G为圆心，|GM|为半径的圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=6，再利用圆系方程可得直线MN的方程是x+3y-4=0；
（2）直线l₁的斜率为1，且l⊥l₁，可得直线l的斜率为-1，设直线l的方程为y=-x+b，联立圆的方程与直线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系可得P，Q两点横坐标的和与积，结合∠POQ为钝角，得$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，从而可得直线l的纵截距的取值范围．

解答 解：（1）由题意得，圆心（0，0）到直线l₁：x-y-2$\sqrt{2}$=0的距离为圆的半径长r，
即$r=\frac{|0-0-2\sqrt{2}|}{\sqrt{2}}=2$，
∴圆C的标准方程为x²+y²=4．
连接OG，OM，由题意知|OG|=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}=\sqrt{10}$，|GM|=$\sqrt{O{G}^{2}-O{M}^{2}}=\sqrt{6}$，
∴以G为圆心，|GM|为半径的圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=6  ①，
又圆C的方程为x²+y²=4  ②，
由①-②得直线MN的方程是x+3y-4=0；
（2）∵直线l₁的斜率为1，且l⊥l₁，∴直线l的斜率为-1，设直线l的方程为y=-x+b，
则与圆C的方程x²+y²=4 联立，化简得2x²-2bx+b²-4=0．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程2x²-2bx+b²-4=0的两个不同的根，
故x₁+x₂=b，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{{b}^{2}-4}{2}$  ③，
由△=（-2b）²-8（b²-4）＞0，得-2$\sqrt{2}$＜b＜$2\sqrt{2}$．
∵∠POQ为钝角，∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$＜0，即x₁x₂+y₁y₂＜0，
又y₁=-x₁+b，y₂=-x₂+b，
∴${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=2{x}_{1}{x}_{2}-b（{x}_{1}+{x}_{2}）+{b}^{2}$＜0  ④，
由③④得b²＜4，即-2＜b＜2，满足△＞0．
当$\overrightarrow{OP}$与$\overrightarrow{OQ}$反向共线时，直线y=-x+b过原点，此时b=0，不符合题意，
故直线l的纵截距的取值范围是-2＜b＜2，且b≠0．

点评 本题考查直线与圆的位置关系的应用，训练了利用圆系方程求两圆公共弦所在的直线方程，考查了平面向量的数量积运算，是中档题．