Question

17．如图所示，△ABC与△DBC是边长均为2的等边三角形，且所在两平面互相垂直，EA⊥平面ABC，且EA=$\sqrt{3}$．
（1）求证：DE∥平面ABC
（2）若2$\overrightarrow{CM}$=$\overrightarrow{ME}$，求多面体DMAEB的体积．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点F，连接DF，AF．证明DF平行且等于EA，然后证明DE∥平面ABC．
（2）通过多面体DMAEB的体积=V_D-MEB+V_A-MBE，分别求解体积，即可得到多面体DMAEB的体积．

解答 证明：（1）如图，取BC的中点F，连接DF，AF．
因为△DBC是边长均为2的等边三角形，
所以DF=$\sqrt{3}$，DF⊥BC，又因为平面DBC垂直于平面ABC，
所以，DF⊥平面ABC，又EA⊥平面ABC，且$EA=\sqrt{3}$
所以DF平行且等于EA，即四边形DFAE为矩形；
所以，DE平行于AF，所以，DE∥平面ABC．
（2）因为多面体DMAEB的体积=V_D-MEB+V_A-MBE
又$2\overrightarrow{CM}=\overrightarrow{ME}$，所以，${V_{D-MEB}}=\frac{2}{3}{V_{D-CEB}}=\frac{2}{3}{V_{E-DBC}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）×\sqrt{3}=\frac{2}{3}$${V_{A-MEB}}=\frac{2}{3}{V_{A-CEB}}=\frac{2}{3}{V_{E-ABC}}=\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×（{\frac{1}{2}×2×2×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）×\sqrt{3}=\frac{2}{3}$
所以，多面体DMAEB的体积为$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力，转化思想的应用．