Question

已知数列{a_n}，
（1）a₁=1，a_n=a_n-1+2n-1（n≥2），则a_n=

 

（2）若a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n，则a_n=

 

（3）若a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2），则a_n=

 

（4）若前n项和S_n=3n²+n+1，则a_n=

 

（5）若a₁=

1

2

，S_n=n²a_n，则a_n=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）采用叠加法求数列的通项公式．
（2）采用叠乘法求数列的通项公式．
（3）采用构造新数列法求数列的通项公式．
（4）采用前n项和法求数列的通项公式．
（5）采用前n项和与叠乘法求数列的通项公式．

解答： 解：（1）a₁=1，a_n=a_n-1+2n-1（n≥2），
则：a_n-a_n-1=2n-1
a_n-1-a_n-2=2（n-1）-1
…
a₂-a₁=2•2-1
所以：a_n-a₁=2（2+3+…+n）-n
an=2•

n(n+1)

2

-2-n+1
整理得：an=n2-1
（2）a₁=1，a_n+1=

n

n+1

a_n，
则：

an

an-1

=

n-1

n

an-1

an-2

=

n-2

n-1

…

a2

a1

=

1

2

所以：

an

a1

=

1

n

解得：an=

1

n

（3）a₁=1，a_n=2a_n-1+1（n≥2），
则：

an+1

an-1+1

=2，所以数列{a_n+1}是以a₁+1为首项，公比为2的等比数列．
an+1=(a1+1)2n-1
则：an=2n-1当n=1时符合此通项公式
所以：an=2n-1
（4）数列前n项和S_n=3n²+n+1，
则：Sn-1=3(n-1)2+(n-1)+1（n≥2）
a_n=S_n-S_n-1=6n-2
a₁=5，不符合此通项公式，
所以：an=

5(n=1) 6n-2(n≥2)

（5）a₁=

1

2

，S_n=n²a_n，①
则Sn-1=(n-1)2an-1②
①-②得：

an

an-1

=

n-1

n+1

则：采用（2）的方法
即得：an=

1

n(n+1)

点评：本题考查的知识要点：利用叠加和叠乘法，前n项和法求数列的通项公式，属于基础题型．