Question

已知f（x）=a-

1

3x-1

是奇函数，则f（x）的值域为

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：运用奇函数的定义，求得a，再讨论x＞0，x＜0时f（x）的范围，注意运用指数函数的单调性，即可得到值域．

解答： 解：f（x）=a-

1

3x-1

是奇函数，
则f（-x）+f（x）=0，
即有a-

1

3-x-1

+a-

1

3x-1

=0，
即2a=

3x

1-3x

+

1

3x-1

=-1，
解得，a=-

1

2

，
则f（x）=-

1

2

-

1

3x-1

，
由于x≠0，则当x＞0时，3^x＞1，

1

3x-1

＞0，
-

1

3x-1

＜0，则f（x）＜-

1

2

，
由于f（x）为奇函数，则x＜0时，f（x）＞

1

2

．
则f（x）的值域为（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）
故答案为：（-∞，-

1

2

）∪（

1

2

，+∞）．

点评：本题考查函数的奇偶性的判断和运用，考查指数函数的单调性和运用，考查运算能力，属于基础题．