Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC=5，DC=3，AD=4，∠PAD=60°．
（1）画出四棱锥P-ABCD的正视图，（要求标出尺寸，并写出演算过程）；
（2）若M为PA的中点，求证：DM∥面PBC；
（3）求三棱锥D-PBC的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得，四边形ADCE为矩形，AE=CD=3，BE=3，从而AB=6，PD⊥AD，由此能求出正视图．
（2）取PB中点N，连接MN，CN，MN∥AB，四边形MNCD为平行四边形，由此能证明DM∥平面PBC．
（3）由V_D-PBC=V_P-DBC，利用等积法能求出三棱锥D-PBC的体积．

解答： （1）解：在梯形ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
由已知得，四边形ADCE为矩形，AE=CD=3，
在Rt△BEC中，由BC=5，CE=4，
依勾股定理得BE=3，从而AB=6．
又由PD⊥平面ABCD，得PD⊥AD，
从而在Rt△PDA中，由AD=4，∠PAD=60°，得PD=4

3

．
由此得到正视图如右图所示．
（2）证明：取PB中点N，连接MN，CN．
在△PAB中，∵M是PA中点，
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB=3，
又CD∥AB，CD=3，
∴MN∥CD，MN=CD，
∴四边形MNCD为平行四边形，
∴DM∥CN．
又DM不包含于平面PBC，
CN?平面PBC，∴DM∥平面PBC．
（3）解：V_D-PBC=V_P-DBC=

1

3

S_△DBC•PD，
又S_△DBC=6，PD=4

3

，
所以V_D-PBC=8

3

．

点评：本题考查四棱锥P-ABCD的正视图的作法，考查DM∥面PBC的证明，考查三棱锥D-PBC的体积的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．