Question

【题目】已知函数f （x）=ax﹣ex（a∈R），g（x）=．

（Ⅰ）求函数f （x）的单调区间；

（Ⅱ）x0∈（0，+∞），使不等式f （x）≤g（x）﹣ex成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案见解析（Ⅱ）

【解析】

试题（Ⅰ）f′（x）=a﹣ex，x∈R．对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性即可得出；

（Ⅱ）由x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，即a≤．设h（x）=，则问题转化为a，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．

解：（Ⅰ）∵f′（x）=a﹣ex，x∈R．

当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减；

当a＞0时，令f′（x）=0得x=lna．

由f′（x）＞0得f（x）的单调递增区间为（﹣∞，lna）；

由f′（x）＜0得f（x）的单调递减区间为（lna，+∞）．

（Ⅱ）∵x0∈（0，+∞），使不等式f（x）≤g（x）﹣ex，则，即a≤．

设h（x）=，则问题转化为a，

由h′（x）=，令h′（x）=0，则x=．

当x在区间（0，+∞） 内变化时，h′（x）、h（x）变化情况如下表：

由上表可知，当x=时，函数h（x）有极大值，即最大值为．

∴．