题目内容

在正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O．设M是线段AO上一点，且满足∠BMC=90°，则 $数学公式$ =________．

1
分析：延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点，设正四面体ABCD棱长为1，MO=x，在Rt△BOM中，根据BM= $\text{[math]}$ ，建立关于x的方程并解之，得x= $\text{[math]}$ ，再结合正四面体的高AO= $\text{[math]}$ ，得出MO=AM= $\text{[math]}$ ，从而得到所求的比值．
解答：延长BO，交CD于点N，可得BN⊥CD且N为CD中点

设正四面体ABCD棱长为1，得
等边△ABC中，BN= $\text{[math]}$ BC= $\text{[math]}$
∵AO⊥平面BCD，
∴O为等边△ABC的中心，得BO= $\text{[math]}$ BN= $\text{[math]}$
Rt△ABO中，AO= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
设MO=x，则Rt△BOM中，BM= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵∠BMC=90°，得△BMC是等腰直角三角形，
∴BM=AM= $\text{[math]}$ BC，即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解之得x= $\text{[math]}$
由此可得AM=AO-MO= $\text{[math]}$ ，所以MO=AM= $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ =1
故答案为：1
点评：本题给出正四面体ABCD高线上一点M，使得三角形BCM是等腰直角三角形，求M分高线的比值，着重考查了正四面体的性质和线面垂直位置关系的认识等知识，属于中档题．

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=2”．若把该结论推广到正四面体（所有棱长均相等的三棱锥），则有结论：“在正四面体ABCD中，若M是正三角形BCD的中心，O是在正四面体ABCD内切球的球心，则

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（2）a，b∈R，a-b＞0则a＞b，类比出：a，b∈C，a-b＞0则a＞b；
（3）以点（0，0）为圆心，r为半径的圆的方程是x²+y²=r²，类比出：以点（0，0，0）为球心，r为半径的球的方程是x²+y²+z²=r²；
（4）正三角形ABC中，M是BC的中点，O是△ABC外接圆的圆心，则

=2，类比出：在正四面体ABCD中，若M是△BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则

=3．
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