Question

在正四面体ABCD中，E、F分别是BC、AD中点，则异面直线AE与CF所成的角是

 

．（用反三角值表示）

Answer 1

分析：连接ED，取ED的中点M，连接CM、FM，则FM∥AE，且FM=

1

2

AE，所以异面直线AE与CF所成的角即为∠CFM或其补角，然后在Rt△MEC中，借助正弦或余弦定理解出所求的角．

解答：解：如图所示：设正四面体ABCD的棱长为a，
连接ED，取ED的中点M，连接CM、FM，则FM∥AE，且FM=

1

2

AE，
∴异面直线AE与CF所成的角即为∠CFM或其补角，
∵AE=CF=

3

2

a，
∴FM=

3

4

a
在Rt△MEC中，EC=

1

2

a，EM=

3

4

a，
∴MC=

7

4

a
∴cos∠CFM=

CF2+FM2-MC2

2CF•FM

=

2

3

∴∠CFM=arccos

2

3

．
故选Arccos

2

3

点评：本题主要考查了异面直线所成的角，空间中的线面关系，解三角形等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．求异面直线所成的角，一般有两种方法，一种是几何法，其基本解题思路是“异面化共面，认定再计算”，即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中，结合余弦定理来求．还有一种方法是向量法，即建立空间直角坐标系，利用向量的代数法和几何法求解．