Question

下列命题中，真命题是（　　）

• A、存在x₀∈R，sin²

  x0

  2

  +cos²

  x0

  2

  =

  1

  2

• B、任意x∈（0，π），sinx＞cosx
• C、任意x∈（0，+∞），x²+1＞x
• D、存在x₀∈R，x₀²+x₀=-1

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：利用正弦函数与余弦函数的性质可判断A、B的正误；利用作差法可判断C、D的正误，从而可得答案．

解答： 解：A，∵sin²

x0

2

+cos²

x0

2

=1，故不存在x₀∈R，使得sin²

x0

2

+cos²

x0

2

=

1

2

，即A错误；
B，x=

π

6

∈（0，π），但sin

π

6

=

1

2

＜

3

2

=cos

π

6

，故B错误；
C，∵x²-x+1=(x-

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，故任意x∈（0，+∞），x²+1＞x，正确；
D，∵x₀²+x₀+1=(x0+

1

2

)2+

3

4

＞0恒成立，故不存在x₀∈R，使得x₀²+x₀=-1，即D错误；
综上所述，真命题是C．
故选：C．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查推理、分析与运算能力，属于中档题．