题目内容
8．若等边三角形ABC的边长为2，N为AB的中点，且AB上一点M满足$\overrightarrow{CM}$=x$\overrightarrow{CA}$+y$\overrightarrow{CB}$，则当$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$取最小值时，$\overrightarrow{CM}$•$\overrightarrow{CN}$=（ ）| A． | 6 | B． | 5 | C． | 4 | D． | 3 |
分析 可画出图形，并由条件可知x＞0，y＞0，并可得出x+y=1，从而得到$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{x+y}{x}+\frac{4（x+y）}{y}$，由基本不等式便可得出$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$的最小值，以及对应的x，y值，从而用$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$表示出$\overrightarrow{CM}$，而$\overrightarrow{CN}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）$，这样根据△ABC为等边三角形即可进行向量数量积的运算，从而求出$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}$的值．
解答 解：如图，可知，x＞0，y＞0；
∵M，A，B三点共线，且$\overrightarrow{CM}=x\overrightarrow{CA}+y\overrightarrow{CB}$；
∴x+y=1；
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=\frac{x+y}{x}+\frac{4（x+y）}{y}$
=$1+\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}+4$
≥1+4+4，当$\frac{y}{x}=\frac{4x}{y}$，即y=2x时取“=”，即$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}$取最小值；
此时x=$\frac{1}{3}$，$y=\frac{2}{3}$；
∵N是AB的中点；
∴$\overrightarrow{CM}•\overrightarrow{CN}=（\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{2}{3}\overrightarrow{CB}）•$$[\frac{1}{2}（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CB}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{3}{\overrightarrow{CA}}^{2}+\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}+\frac{2}{3}{\overrightarrow{CB}}^{2}）$
=$\frac{1}{2}（\frac{4}{3}+2+\frac{8}{3}）$
=3．
故选：D．
点评 考查向量加法的平行四边形法则，三点A，B，C共线的充要条件：$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，且x+y=1，基本不等式的运用，注意基本不等式等号成立的条件，向量数量积的运算及计算公式．
| A． | （0，+∞） | B． | [0，+∞） | C． | （1，+∞） | D． | [1，+∞） |
| A． | {-1} | B． | {1} | C． | $\{-1，\frac{{\sqrt{2}}}{2}\}$ | D． | $\{\frac{{\sqrt{2}}}{2}\}$ |
| A． | 8（2n-1） | B． | 4（3n-1） | C． | $\frac{8}{3}（{4^n}-1）$ | D． | $\frac{4}{3}（{3^n}-1）$ |
| A． | 2 | B． | 6或8 | C． | 8 | D． | 2或8 |