Question

17．已知数列{a_n}，{b_n}，其中{a_n}是首项为3，公差为整数的等差数列，且a₃＞a₁+3，a₄＜a₂+5，a_n=log₂b_n，则{b_n}的前n项和S_n为（　　）

• A． 8（2ⁿ-1）
• B． 4（3ⁿ-1）
• C． $\frac{8}{3}（{4^n}-1）$
• D． $\frac{4}{3}（{3^n}-1）$

Answer 1

分析 由题意可知a₃＞a₁+3，a₄＜a₂+5，根据等差数列性质可知：$\left\{\begin{array}{l}{2d＞3}\\{2d＜5}\end{array}\right.$，由d为为整数，即可求得d=2，根据等差数列通项公式即可求得a_n，根据对数的运算性质求得b_n=2²ⁿ⁺¹=8×4^n-1，可知数列{b_n}是以8为首项，4为公比的等比数列，根据等比数列前n项和公式即可求得{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：由题意可知：数列{a_n}的通项公式a_n=a₁+（n-1）d，
由题意可知：a₃＞a₁+3，a₄＜a₂+5，
即$\left\{\begin{array}{l}{2d＞3}\\{2d＜5}\end{array}\right.$，由d为为整数，
解得：d=2，
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1，
由a_n=log₂b_n，即2n+1=log₂b_n，
∴b_n=2²ⁿ⁺¹=8×4^n-1，
∴数列{b_n}是以8为首项，4为公比的等比数列，
∴{b_n}的前n项和S_n，S_n=$\frac{8（1-{4}^{n}）}{1-4}$=$\frac{8}{3}$（4ⁿ-1），
故答案选：C．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，考查不等式组的解法，对数的运算的综合运用，考查对公式的掌握程度，属于中档题．