Question

2．已知函数f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然对数的底数．
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明．

Answer 1

分析 （1）根据题意，先分析函数f（x）=e^x+e^-x的定义域为R，进而计算可得f（-x）=f（x），即可证明函数f（x）为偶函数；
（2）根据题意，用定义法进行证明：先设x₁＞x₂＞0，再计算化简f（x₁）-f（x₂）可得：f（x₁）-f（x₂）=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$），结合指数函数的性质分析可得f（x₁）-f（x₂）＞0，即可得证明．

解答 解：（1）证明：函数f（x）=e^x+e^-x，其定义域为R，
f（-x）=e^-x+e^-（-x）=e^-x+e^x=f（x）；
故f（x）=e^x+e^-x是R上的偶函数；
（2）根据题意，函数f（x）=e^x+e^-x为增函数，
证明如下：设x₁＞x₂＞0，
f（x）=e^x+e^-x=e^x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
f（x₁）-f（x₂）=（${e}^{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}$）-（${e}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$）
=${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{e}^{{x}_{1}}}$-$\frac{1}{{e}^{{x}_{2}}}$
=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）-$\frac{{e}^{{x}_{1}}-{e}^{{x}_{2}}}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$
=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$），
而函数y=e^x为指数函数，且x₁＞x₂＞0，
则${e}^{{x}_{1}}$＞${e}^{{x}_{2}}$＞1，
则f（x₁）-f（x₂）=（${e}^{{x}_{1}}$-${e}^{{x}_{2}}$）（$\frac{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}-1}{{e}^{{x}_{1}}{e}^{{x}_{2}}}$）＞0，
故f（x）=e^x+e^-x为（0，+∞）上的增函数．

点评 本题考查函数的单调性．奇偶性的判定，注意判定奇偶性之前要先分析函数的定义域．