题目内容

已知△ABC中，
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，|
BA
+
BC
|=2，且B∈[
π
3
，
2π
3
]，则
BC
•
BA
的取值范围是
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：平面向量及应用
分析：根据向量的几何意义和数量积的运算以及，
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，得到
CA
⊥
BD
，继而做出平行线四边形，得到平行四边形为菱形，设
BC
与
BA
的夹角为2θ，
表示出|
BC
|=|
BA
|=
1
cosθ
，再根据向量的夹角公式，求表示出
BA
•
BC
=2-
1
cos2θ
，根据函数得单调性，求出范围即可
解答： 解∵
BC
•
CA
=
CA
•
AB
，
∴
CA
•（
BC
-
AB
）=
CA
•（
BC
+
BA
）=
CA
•
BD
=0，
∴
CA
⊥
BD
，
如图：分别作
CD
=
BA
，
AD
=
BC
，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴四边形ABCD为菱形，
∴|
BD
|=|
BA
+
BC
|=2，
∴|
BE
|=
1
2
|
BD
|=1，
设
BC
与
BA
的夹角为2θ，
则2θ∈[
π
3
，
2π
3
]，
∴θ∈[
π
6
，
π
3
]，
∴cosθ∈[
1
2
，
3
2
]，
∴cos2θ∈[
1
4
，
3
4
]，
∴|
BC
|=|
BA
|=
1
cosθ
，
∵cos2θ=
BA
•
BC
|
BA
||
BC
|
，
∴
BA
•
BC
=cos2θ•
1
cos2θ
=
2cos2θ-1
cos2θ
=2-
1
cos2θ

当cos2θ=
1
4
时，
BA
•
BC
=2-4=-2，
当cos2θ=
3
4
时，
BA
•
BC
=2-
4
3
=
2
3
，
故
BC
•
BA
的取值范围是[-2，
2
3
]
故答案为：[-2，
2
3
]
点评：本题考查了向量的几何意义和数量积的运算以及夹角公式，和函数的单调性，关键是证明四边形为菱形，属于中档题．
练习册系列答案
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已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1，n=1，2，3，…，那么数列{an}（　　）
A、是等差数列但不是等比数列
B、是等比数列但不是等差数列
C、既是等差数列又是等比数列
D、既不是等差数列也不是等比数列
已知点P（-3，2）在抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线上，过点P的直线与抛物线C相切于A，B两点，则直线AB的斜率为（　　）
A、1
B、
2
C、
3
D、3
如图，这个二次函数的方程为
 
．
已知两点A（0，1），B（1，0），若直线y=k（x+1）与线段AB总有公共点，则k的取值范围是
 
．
已知在△ABC中，若
cosA
a
=
cosB
b
=
cosC
c
，试判断△ABC的形状．
设-3π＜α＜-
5
2
π，化简
1-cos(α-π)
2
的结果是
 
．
化简：
sin(kπ-a)cos(kπ+a)
sin[(k+1)π+a]cos[(k+1)π+a]
．
sin(α-
π
2
)=（　　）
A、sinαB、-sinα
C、cosαD、-cosα

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