Question

已知点P（-3，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线上，过点P的直线与抛物线C相切于A，B两点，则直线AB的斜率为（　　）

• A、1
• B、

  2

• C、

  3

• D、3

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，求出准线方程x=-3，再求出p，从而得到抛物线方程，写出第一象限和位于第四象限的抛物线方程，分别设出切点，并求导，得到相应切点A、B的坐标，然后再由两点的斜率公式求出BF的斜率．

解答： 解：∵点P（-3，2）在抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线上，
∴抛物线的准线方程为：x=-

p

2

，
∴-

p

2

=-3，
∴p=6，
∴y²=12x，
抛物线C：y²=12x，在第一象限的方程为y=2

3

x

，
设切点A（m，n），则n=2

3

m

，
由导数，得 y′=2

3

×

1

2

1

x

=

3

x

，
∴在切点A处的斜率为

3

m

，
∴直线PA的方程为：y-n=

3

m

（x-m）．
将点（-3，2）代人，得到
2-n=

3

m

（-3-m） ①，
n=2

3

m

 ②，
∴

m= 11+2 10 3 n=2+2 10

，
∴A（

11+2 10

3

，2+2

10

），
同理，可以设切点B（a，b），得到在该点处的斜率为-

3

a

，
∴直线PB的方程为：y-b=-

3

a

（x-a）．
将点（-3，2）代人，得到
2-b=-

3

a

（-3-a） ③
b=-2

3

a

  ④
解得

a= 11-2 10 3 b=2-2 10

，
∴B（

11-2 10

3

，2-2

10

），
∴直线AB的斜率为：

(2+2 10 )-(2-2 10 )

11+2 10 3 - 11-2 10 3

=3，
故选：D．

点评：本题重点考查了切线方程、导数的几何意义、斜率公式、直线与抛物线的位置关系等知识，属于中档题．重点考查运算能力．